本文标题：函数的单调性ppt（如何判断一个函数的单调性？） 本文链接：http://www.cswwyl.com/renqi/27116.html
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如何判断一个函数的单调性？
函数的单调性在数学分析中扮演着非常重要的角色，在很多问题的解析中都大量涉及到。本文将会详细介绍如何判断一个函数的单调性，并且通过实例演示。
1. 单调性的基本概念与定义
所谓单调性，简单而言，就是函数取值的变化趋势。通过观察函数的自变量取值的改变，我们可以判断函数的单调性。 在数学中，单调性的定义如下：
- 如果对于两个自变量，当x1小于x2的时候，函数值f(x1)小于等于f(x2)，则该函数是单调不降的。
- 如果对于两个自变量，当x1小于x2的时候，函数值f(x1)大于等于f(x2)，则该函数是单调不增的。
2. 判断单调性的方法
一、求导法
求导是判断函数单调性的常用方法之一。通过求导可得原函数单调性相关知识，具体操作如下：
- 求出函数的导数。
- 将导数f‘（x）的符号（正号或负号）与函数的单调性建立起联系
- 如果f‘（x）恒为正，函数就单调递增；如果f‘（x）恒为负，函数就单调递减。
二、借助函数图象的几何特征来判定函数单调性
1.一次函数：
一次函数是函数图象的直线，且直线具有单调性（不降或不增）；
2.二次函数：
当二次函数的开口朝上时，图象的极值为最小值，函数具有单调性（不降或递增）；
当二次函数的开口朝下时，图象的极值为最大值，函数具有单调性（不降或递减）。
三、辅助函数法
若f(x)在[a,b]单调性无法判断，可以先考虑求f’(x)，以判断在哪个区间上单调。此时就令辅助函数h(x)=f’(x)，经过求导可得到f’’(x)，若在[a,b]上，f(x)单调递增，则f’(x)> 0，f’’(x)≥0；若f(x)单调递减，则f
3. 实例演示
接下来我将用实例演示如何通过以上方法判断函数单调性。
假设有一函数：f(x) = x³ + 3x² – 2x + 5，我们要求其单调性。
1. 求导法：
令f'(x) = 3x² + 6x -2，当x <= -1 或 x >= 1, f’（x）> 0，所以f(x)单调不降；当 -1 < x < 1 时，f‘（x）< 0，所以f(x)单调递减。
2. 几何特征法：
观察f(x)的二次导数（f(x)’’）：
f’’(x) = 6x+6，当x <= -1；或x >= 1时，f’’(x) > 0，f(x)的图象开口朝上，所以在这个区间上的函数是单调不降的；当-1 < x < 1时，f’’(x) < 0，f(x)的图象开口朝下，所以在这个区间上的函数是单调递减的。
结论：在[x = -∞, -1] 和[x = 1, +∞]上，函数单调不降，在[-1, 1]上，函数单调递减。
3. 辅助函数法：
为了更加直观地说明这个方法，我们将用代码实现：
f(x) = x**3 + 3*x**2 - 2*x + 5
h(x) = f.derivative()
h.derivative()
plot(f, (x, -5, 5))
我们可以看到在f(x)的绝大多数区间上，h(x)f(x)的斜率都是正的，所以我们认为这个函数是单调不降的。
结论：
在[x = -∞, -1]和[x = 1, +∞]上，函数单调不降， 在[-1, 1]上函数单调递减。
结论
本文介绍了判断函数单调性的三种方法：求导法、借助函数图象的几何特征法和辅助函数法。通过实例演示，我们可以更加直观地掌握如何使用这三种方法来判断函数的单调性。同时，我们也需要注意，这三种方法都有自己的适用范围，在具体选择时需要结合实际情况加以考虑。
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